Repère du plan, coordonnées d'un point dans le plan

Définition

Trois points non alignés \(\text{O}, \text{I}\) et \(\text{J}\) du plan définissent un repère du plan.
On note ce repère \((\text{O};\color{blue}{\text{I}},\color{red}{\text{J}})\).
Le point \(\text{O}\) est appelé l’origine du repère.
L’axe \((\text{O}\color{blue}{\text{I}})\) est l’axe des abscisses. La distance \(\text{OI}\) définie l'unité soit \(\text{OI}=1\).
L’axe \((\text{O}\color{red}{\text{J}})\) est l’axe des ordonnées. La distance \(\text{OJ}\) définie l'unité soit \(\text{OJ}=1\).

Lorsque les axes du repère sont perpendiculaires, c’est-à-dire lorsque le triangle \(\text{OIJ}\) est rectangle en \(\text{O}\), on dit que le repère est orthogonal.
Si, de plus, le triangle \(\text{OIJ}\) est rectangle et isocèle en \(\text{O}\), le repère est dit orthonormé (ou orthonormal).

Propriété (admise)

Le plan est muni d'un repère \((\text{O};\text{I},\text{J})\).
Tout point \(\text{M}\) du plan est repéré par un unique couple \((x_\text{M};y_\text{M})\) de nombres réels appelés les coordonnées du point \(\text{M}\).
On note \(\text{M}(x_\text{M};y_\text{M})\).
\(x_\text{M}\) est l’abscisse du point \(\text{M}\) et \(y_\text{M}\) est l’ordonnée du point \(\text{M}\).

Exemple

On considère le repère \((\text{O} ;\text{I},\text{J})\) ci-dessous.
On place les points \(\text{A}, \text{B}, \text{C}, \text{D}\) et \(\text{E}\) dans ce repère.

Les coordonnées de \(\text{A}\) sont \((1{,}5~ ; 4)\).
Les coordonnées de \(\text{B}\) sont \((-2~;3)\).
Les coordonnées de \(\text{C}\) sont \((-1~ ; -2)\).
Les coordonnées de \(\text{D}\) sont \((3~; 0)\).
Les coordonnées de \(\text{E}\) sont \((0 ; -3)\).